Książka ta poświęcona jest problematyce modelowania układów i pól fizycznych wspomaganego przez pakiet programów Mathematica. Mankamentem kursów mechaniki klasycznej oraz fizyki matematycznej jest ich znaczna zawiłość, spowodowana złożonością aparatu matematycznego. Wykorzystanie pakietu Mathematica, który ma bogaty zestaw narzędzi analitycznych i graficznych, sprawia, że prezentacja klasycznych zagadnień związanych z modelowaniem i interpretacją problemów fizycznych jest dużo bardziej przejrzysta. Pakiet ten umożliwia bieżącą wizualizację rozwiązań nieliniowych równań różniczkowych, a także rozwiązań uzyskanych w postaci szeregów nieskończonych i funkcji specjalnych. Podręcznik składa się z dwóch części, które można studiować niezależnie od siebie. Pierwsza część dotyczy zagadnień mechaniki nieliniowej i teorii drgań, druga zawiera omówienie liniowych problemów klasycznej fizyki matematycznej oraz nieliniowych modeli ewolucyjnych. W książce znajdują się kody programów napisanych w środowisku pakietu Mathematica. Do publikacji dołączono CD z programami ilustrującymi i często uzupełniającymi prezentowany materiał.
- Contents
-
Wstęp 7
Część I. Modele układów o parametrach skupionych
1. Przykłady modeli o parametrach skupionych 13
1.1. Model maltuzjański i model logistyczny 13
1.2. Analogi dyskretne równania logistycznego 15
1.3. Model wahadła płaskiego (matematycznego) poruszającego się w polu grawitacyjnym 18
1.4. Formalizm Lagrange’a 19
1.5. Przykłady otrzymywania równań dynamiki za pomocą formalizmu Lagrange’a 21
2. Metody teorii układów dynamicznych w badaniach modeli o parametrach skupionych 27
2.1. Pojęcia podstawowe. Linearyzacja i klasyfikacja punktów stacjonarnych na płaszczyźnie 27
2.2. Układy konserwatywne (zachowawcze) o jednym stopniu swobody 34
2.3. Układy dynamiczne w R2 mające nieanalityczne rozwiązania 40
2.4. Układy dynamiczne w Rn. Podprzestrzenie oraz rozmaitości niezmiennicze 47
2.5. Odwzorowania dyskretne generowane przez potoki fazowe układów dynamicznych 49
2.6. Rezonans parametryczny 50
2.7. Wahadło Kapitsy 56
3. Drgania nieliniowe w układach o parametrach skupionych 61
3.1. Wstęp 61
3.2. Modele konkurencji międzygatunkowej 61
3.3. Model van der Pola 63
3.4. Oznaki istnienia (nieistnienia) trajektorii okresowych 64
3.5. Bifurkacja Andronova–Hopfa 66
4. Drgania w układach nieautonomicznych i wielowymiarowych 83
4.1. Wstęp 83
4.2. Bifurkacje w równaniu Duffinga z okresową˛ częścią niejednorodną 83
4.3. Metody badań rozwiązań chaotycznych 88Część II. Modele układów o parametrach rozłożonych
5. Modele opisujące wielkości polowe 105
5.1. Uwagi wstępne 105
5.2. Równania dynamiki cieczy i gazu 106
5.3. Równanie transportu 117
5.4. Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego 121
6. Metody rozwiązywania liniowych równań cząstkowych 127
6.1. Metoda rozwiązywania zagadnień Cauchy’ego oparta na przekształceniu Fouriera 127
6.2. Przekształcenie Laplace’a 134
6.3. Metoda rozdzielenia zmiennych 147
7. Zastosowanie metod numerycznych do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych 170
7.1. Metoda różnic skończonych 170
7.2. Metoda linii 175
7.3. Metoda Galerkina 176
7.4. Metoda elementów skończonych 178
8. Pewne modele ewolucyjne 180
8.1. Równania falowe. Wpływ nieliniowości oraz dyspersji na ewolucję zaburzeń początkowych 180
8.2. Równanie Burgersa 185
8.3. Równanie Kortewega–de Vriesa (KdV) i jego modyfikacje 191
8.4. Równanie Rosenau–Hymana. Ewolucja kompaktonów 199Dodatki
A. Elementy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji zmiennej zespolonej 205
A.1. Funkcje holomorficzne i ich własności 205
A.2. Całkowanie funkcji o wartościach zespolonych 206
A.3. Funkcje holomorficzne w pierścieniu. Rozwinięcie w szereg Laurenta i klasyfikacja punktów osobliwych 209
B. Pewne stwierdzenia uzasadniające wykorzystanie przekształceń całkowych w rozwiązywaniu równań różniczkowych 213
B.1. Przestrzeń dystrybucji temperowanych 213
B.2. Przekształcenie Fouriera w zbiorze S′(Rn) 216
B.3. Warunki pozwalające sprowadzić znalezienie odwrotnej transformaty Laplace’a do obliczenia residuów 217
C. Krótkie wprowadzenie w teorię funkcji specjalnych 221
C.1. Wstęp 221
C.2. Funkcje walcowe 223
C.3. Wielomiany Legendre’a 224Bibliografia 226
