The monograph is a summary of the authors' previous work. It is devoted to the following fundamental topics of the theory of analytic functions on Banach spaces:
- spectral theory of algebras of analytic functions on Banach spaces;
- Fundamentals of harmonic analysis in Hardy classes of analytic functions on Banach spheres;
- Cauchy type theory of integral representations of analytic functions in Banach spheres in terms of invariant Haar-type measures on infinite dimensional topological groups;
- The theory of representations of analytic functions in Hilbert spheres by their Taylor expansion using a technique based on the theory of symmetric Fock spaces.
Monografia stanowi podsumowanie wcześniejszych prac autorów. Jest poświęcona następującym zasadniczym tematom teorii funkcji analitycznych na przestrzeniach Banacha:
- teoria spektralna algebr funkcji analitycznych na przestrzeniach Banacha;
- podstawy analizy harmonicznej w klasach Hardy'ego funkcji analitycznych w kulach Banacha;
- teoria typu Cauchy'ego całkowych przedstawień funkcji analitycznych w kulach Banacha względem niezmienniczych miar typu Haara na nieskończenie wymiarowych topologicznych grupach;
- teoria przedstawień funkcji analitycznych w kulach Hilberta poprzez ich rozwinięcie Taylora przy zastosowaniu techniki opartej na teorii symetrycznych przestrzeni Focka.
- Spis treści
-
Introduction 2
Chapter 1
Background on infinite-dimensional holomorphy 3
1.1. Continuous polynomials and symmetric tensor products 3
1.2. Linear subspaces in zeros of polynomials 8
1.3. Analytic functions 9
1.4. The Aron-Berner extension 12
1.5. Concept of regularity 14
1.6. Hilbert-Schmidt polynomials 16
1.7. Reproducing kernels 20
Chapter 2
Descriptions of topological spectra and applications 22
2.1. Spectra of algebras of polynomials 23
2.2. Applications for symmetric polynomials 29
2.3. Polynomials on tensor products 31
2.4. The spectrum of Hb(X) endowed with the Gelfand topology 34
2.5. The Gelfand transformation and linear structures on Mb 42
2.6. Linearity of topologies on spectra 47
2.7. Discontinuous complex homomorphisms and Michael’s problem 50
2.8. Continuous homomorphisms 51
2.9. Continuous derivations 53
2.10. Ball algebras of analytic functions 55
2.11. C ∗ -algebras of continuous functions 57
Chapter 3
Hardy spaces associated with topological groups 59
3.1. Hardy spaces on compact infinite-dimensional group orbits 60
3.2. Symmetric Fock spaces associated with matrix unitary groups 74
3.3. Hardy spaces associated with infinite-dimensional unitary groups 86
3.4. Hardy spaces on irreducible orbits of locally compact groups 98
Chapter 4
Reproducing kernel spaces of analytic functions 111
4.1. Abstract Hardy spaces 111
4.2. Hilbert-Schmidt analytic functions 123
4.3. Holomorphicity and generalized symmetric Fock spaces 130
Bibliography 138